SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 8 LATIHAN 7.2 HAL 77 TH 2025

 

A. Pilihan Ganda

1.  Diketahui pada lingkaran O,terdapat sudut pusat AOB dan

     sudut keliling ACB.  Jika besar sudut AOB adalah 30⁰, maka

     besar sudut ACB adalah......

     Pembahasan:

     Perhatikan gambar!

     

     Diketahui : AOB = sudut pusat lingkaran = 30⁰

     Ditanyakan:  ACB = sudut keliling lingkaran

     Jawab:

     Sudut pusat lingkaran = 2 × sudut keliling lingkaran

     (Jika kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama)

     AOB = 2 × ACB

     30⁰ = 2 × ACB

     ACB = ½ × 30⁰

     ACB = 15⁰

 

2.  Diketahui segitiga ABC dengan titik titik sudutnya berada pada

     lingkaran O.  Jika Sisi AB melalui pusat lingkaran O,maka besar

     sudut BCA adalah.....

     Pembahasan:

     Perhatikan gambar. 

     

     Pada gambar, ∠AOB dan ∠BCA menghadap busur yang sama,

     yaitu busur AB, dengan ∠BCA adalah sudut keliling dan ∠AOB

     adalah sudut pusat, maka:

     ∠pusat= 2 ×  ∠ keliling 

     ∠AOB = 2 × ∠BCA

     (AOB adalah garis lurus, maka sudut nya adalah 180°)

     180° = 2 × ∠BCA 

     ∠BCA = 180° / 2

     ∠BCA = 90° 

B.  Esai

1.  Sebuah sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama,

     jika sudut pusat berukuran 130⁰ maka basar sudut keliling tersebut adalah....

     Pembahasan:

     Perhatikan gambar.

     

     Diketahui   : sudut pusat = 130°

     Ditanyakan : sudut keliling = ... ?

     Jawab :

     Sudut pusat  =  2 × sudut keliling

     Sudut keliling  =  ½  × sudut pusat

                              = ½ × 130°

                              = 65°

     Jadi besar sudut keliling tersebut adalah 65°

 

2.  Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ sama sama

     menghadap busur PQ. Besar sudut PAQ adalah 80°.

     Tentukan besar sudut POQ.

     Pembahasan:

     Perhatikan gambar.

     Diketahui  : ∠ PAQ = 80°

     Ditanyakan : ∠ POQ = ... ?

     Jawab :

     Sudut pusat  =  2 × sudut keliling

     ∠ POQ = 2 × ∠ PAQ

                 = 2 × 80°

                 = 160°

     Jadi besar sudut POQ adalah 160°

 

     

     Diketahui :  ∠ MAN = 120°

     Ditanyakan : ∠ MON = ... ?

     Jawab : 

     ∠ MON merupakan sudut minor pada sudut pusat lingkaran.

     Kita cari dulu sudut mayor MON.

     Karena ∠ MAN dan ∠ MON mayor menghadap busur yang sama

     ∠ MON mayor  = 2 × ∠ MAN

                              = 2 × 120°

                              = 240°

     ∠ MON minor = 360° - ∠ MON mayor  

                             = 360° - 240°

                             = 120°

     Jadi besar ∠ MON adalah 120° 

 

4.  Perhatikan segi empat PQRS di bawah.
     Diketahui m∠ PQR = 125°, m∠ QRS= 78°
     Tentukan :

     a.  m∠ SPQ

     b.  m∠ RSP

     

     Diketahui m∠ PQR = 125°, m∠ QRS = 78°

     Jawab :

     a.  Mencari m∠ SPQ

           ∠ QRS + ∠ SPQ = 180°

           78⁰ + ∠ SPQ = 180°

          ∠ SPQ = 180⁰ - 78°

           ∠ SPQ = 102°

     b.  Mencari m∠ RSP.

           ∠ PQR + ∠ RSP = 180°

         125⁰ + ∠ RSP = 180°

          ∠ RSP = 180⁰ - 125°

          ∠ RSP = 55°

 

5.  Perhatikan lingkaran O di bawah.
     Diketahui m∠ BAD = x + 20°,  m∠ BCD = 3x
     Tentukan:

     a.   m∠ BOD minor

     b.  m∠ BOD mayor 

     Diketahui m∠ BAD = x + 20°, m∠ BCD = 3x

     Jawab :

     ∠ BAD dan ∠ BCD merupakan sudut keliling

     Mencari sudut pusat

     ∠ BOD minor  = 2 × ∠ BAD

                             = 2 (x + 20)

                             = 2x + 40

     ∠ BOD mayor  = 2 × ∠ BCD

                              = 2 (3x)

                              = 6x

     Mencari nilai x

     ∠ BOD minor + ∠ BOD mayor = 360⁰

     2x + 40 + 6x = 360⁰

       2x + 6x = 360⁰ – 40⁰

               8x = 320⁰

                 x = 320⁰ / 8

                 x = 40⁰

 

     a.  ∠ BOD minor

            ∠ BOD minor  = 2x + 40⁰

                                  = 2(40⁰) + 40⁰

                                  = 120°

 

     b.  ∠ BOD mayor

            ∠ BOD mayor = 6x

                                  = 6(40⁰)

                                  = 240°

 

6.  Suatu lingkaran dibagi menjadi tiga sudut pusat dengan perbandingan

     3:5:10. Tentukan ukuran masing-masing sudut pusat tersebut

     Pembahasan:

     ∠ AOB =  3/(3 + 5 + 10) × 360⁰

                  = 3/18 × 360⁰

                  = 1/6 × 360⁰

                  = 60⁰

     ∠ BOC =  5/(3 + 5 + 10) × 360⁰

                  = 5/18 × 360⁰

                  = 100⁰

     ∠ AOC =  10/(3 + 5 + 10) × 360⁰

                  = 10/18 × 360⁰

                  = 5/9 × 360⁰

                  = 200⁰

     Jadi masing-masing besar sudut dari 3 : 5 : 10 adalah
     60⁰ : 100⁰ : 200⁰

 

7.  Sudut pusat 1, 2, dan 3 mempunyai perbandingan 2 : 3 : 4.

     Tentukan ukuran masing masing sudut pusat tersebut.

     

     ∠ AOB =  2/(2 + 3 + 4) × 360⁰

                  = 2/9 × 360⁰

                  = 80⁰

     ∠ BOC =  3/(2 + 3 + 4) × 360⁰

                  = 3/9 × 360⁰

                  = 120⁰

     ∠ AOC =  4/(2 + 3 + 4) × 360⁰

                  = 4/9 × 360⁰

                  = 160⁰

     Jadi masing-masing besar sudut dari 2 : 3 : 4 adalah
     80⁰ : 120⁰ : 160⁰

    Perhatikan segitiga OBE siku-siku di titik E,

     sehingga berlaku rumus Pythagoras:

     OE² = OB² – BE²

     OE² = 10² – 5²

     OE² = 100 – 25

     OE² = 75

     OE = √75

     OE = √25 × √3

     OE = 5√3 cm

     Perhatikan segitiga OCF siku-siku di titik F,

     sehingga berlaku rumus Pythagoras:

     OF² = OC² – CF²

     OE² = 10² – 6²

     OF² = 100 – 36

     OF² = 64

     OF = √64

     OF = 8 cm 

     Perhatikan segitiga ODG siku-siku di titik G,

     sehingga berlaku rumus Pythagoras:

     OG² = OD² – DG²

     OG² = 10² – 7²

     OG² = 100 – 49

     OG² = 51

     OG = √51

     OG = 7,1 cm    

     Perhatikan segitiga OAH siku-siku di titik H,

     sehingga berlaku rumus Pythagoras:

     OH² = OA² – AH²

     OH² = 10² – 8²

     OH² = 100 – 64

     OH² = 36

     OH = √36

     OH = 6 cm

     Jadi, melihat hasil dari perhitungan panjang-panjangnya jelas yang paling

     panjang adalah apotema yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur

     AB

     Cara lain:

     jari-jari lingkaran = 10 cm

     diameter lingkaran = 20 cm

     panjang tali busur AB = 10 cm

     panjang tali busur CD = 12 cm

     panjang tali busur EF = 14 cm

     panjang tali busur GH = 16 cm

     Jika kita mau mengetahui panjang apotema pada setiap tali busur, dapat

     menggukan rumus

     panjang apotema = √(jari-jari² - setengah dari panjang tali busur²)

     apotema pada tali busur AB = √(10² - 5²)

                                                = √(100 - 25)

                                                = √75 cm

                                                = 5√3 cm

     apotema pada tali busur CD = √(10² - 6²)

                                                = √(100 - 36)

                                                = √64 cm

                                                = 8 cm

     apotema pada tali busur EF = √(10² - 7²)

                                               = √(100 - 49)

                                               = √51 cm

     apotema pada tali busur GH = √(10² - 8²)

                                                 = √(100 - 64)

                                                 = √36 cm

                                                 = 6 cm

     Jadi, melihat hasil dari perhitungan panjang-panjangnya jelas yang paling

     panjang adalah apotema yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur

     AB, yang kedua apotema yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur

     CD, yang ketiga apotema yang menghubungkan titik pusat dengan tali busur

     EF, dan yang terahir atau yang paling pendek adalah apotema yang menghubungkan

     titik pusat dengan tali busur GH.

 

2.  Diketahui pada suatu lingkaran terdapat empat busur yaitu busur AB,

     CD,EF,dan GH. Panjang AB > panjang CD > panjang EF > panjang GH.
     Jika pada masing-masing busur tersebut dibuat sudut pusat yang bersesuaian,

     maka sudut pusat terkecil menghadap busur... ? 

     

     Hubungan panjang busur lingkaran dengan sudut pusat lingkaran,

semakin besar sudutnya maka semakin panjang juga panjang busurnya 

maka jika panjang busur AB > panjang busur CD > panjang busur

EF > panjang busur GH, maka besar sudut AOB > besar sudut

COD > besar sudut EF > besar sudut GH.

Jadi, sudut pusat terkecil adalah sudut pusat yang menghadap busur GH

 

B.  Esai

1.  Tentukan jari-jari lingkaran yg diketahui diameter nya adalah 13cm .

     Pembahasan:

     Jari-jari lingkaran (r)  = ½ × diameter (d)

     r = ½ x d
r = ½ x 13
r = 6.5 cm

     Jadi jari-jari lingkaraan = 6,5 cm

 

2.  Apakah perpotongan dua diameter selalu di titik pusat?

     Pembahasan:

     Ya, karna diameter merupakan tali busur terpanjang yang melewati titik pusat lingkaran 

 

3.  Perhatikan gambar di samping.

     Garis k adalah garis sumbu tali busur AB. 

     Garis I adalah garis sumbu tali busur CD.

     Titik P adalah perpotongan garis sumbu k dal I. 

     

     Pembahasan:

     Ya, kedua sumbu tersebut adalah garis yang berimpit dengan diameter lingkaran,

     sehingga perpotongannya tepat di titik pusat

 

4.  Adakah tali busur yg lebih panjang dari diameter? jelaskan!

     Pembahasan:

     Tidak ada, karena diameter  adalah tali busur terpanjang.

 

5.  Apakah panjang apotema bisa lebih dari jari jari? jelaskan!

     Pembahasan:

     Panjang apotema tidak bisa lebih dari jari-jari, karena apotema adalah ruas terpendek

     yang menghubungkan antara titik pusat dengan tali busur, maka titik pada tali busur

     tersebut  pasti berada di dalam lingkaran (bukan pada lingkaran). Karena titik tersebut

     berada di dalam lingkaran, maka panjangnya pasti kurang dari jari-jari (ruas yang

     menghubungkan antaraa titik pusat dengan lingkaran).

 

6.  Dua atau lebih lingkaran dikatakan konsentris jika berpusat di satu

     titik yang sama. Sebutkan minimal 3 benda (atau bagian benda) yang

     memuat hubungan konsentris.

     Pembahasan:

          Konsentris adalah kedudukan dua atau lebih lingkaran yang berpusat

      pada satu titik yang sama.

 

     Benda (atau bagian benda) yang memuat hubungan konsentris :

 

     a.  Gerigi (gir) yang berlapis dua atau lebih lingkaran yang digunakan untuk

          memutar roda yang dihubungkan oleh rantai

     b.  Jam dinding

          Sisi dalam dan sisi luar bingkai pada jam dinding pada jam dinding berbentuk linkaran.

     c.  Velg dan ban yang terpasang pada roda sepeda atau motor.

     d.  Sisi dalam dan sisi luar ban sepeda.

     

     Pembahasan:

         Langkah melukis garis yang melalui titik A, titik B, dan titik C.

         a.  Buat dua ruas garis berbeda (misal AB dan BC).

         b.  Lukis garis sumbu kedua ruas garis tersebut sehingga berpotongan

              di satu titik (titik pusat), namai sebagai titik O.

         c.  Lukis lingkaran dengan pusat titik O dan panjang jari-jari OA

              atau OB, atau OC (keterangan: OA = OB = OC)

 

         Cara Lain:

     Pembahasan:

     Membuat lingkaran dari 3 titik yang berbeda dan terletak tidak segaris.

     Langkah-langkahnya:

     1) hubungkan 3 titik tersebut (titik A, titik B dan titik C) sehingga membentuk segitiga.

     2) buat garis sumbu pada salah satu sisi, garis sumbu adalah garis yang membagi

         sisi segitiga menjadi 2 sama panjang dan tegak lurus terhadap garis yang dibagi

         tersebut, (lihat lampiran yang saya beri nama a.

     3) buat garis sumbu pada sisi yang lain, lihat lampiran yang saya beri nama b.

     4) perpanjang kedua garis sumbu tersebut, maka akan berpotongan di satu titik,

         dan titik potong tersebut merupakan titik pusat lingkaran.

     5) buat lingkaran dengan panjang jari-jari dari titik pusat ke titik A,